\section{群}
\begin{definition}[][群]
    \textbf{group}\quad
    一个群是一个集合 \( G \) 和一个二元运算 \( \cdot \)（通常称为“乘法”），满足以下四个条件：
    \begin{enumerate}
        \item \textbf{闭合性}：对于所有 \( a, b \in G \)，结果 \( a \cdot b \in G \)。
        \item \textbf{结合律}：对于所有 \( a, b, c \in G \)，有 \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)。
        \item \textbf{单位元}：存在一个元素 \( e \in G \)，使得对于所有 \( a \in G \)，有 \( e \cdot a = a \cdot e = a \)。
        \item \textbf{逆元}：对于每个 \( a \in G \)，存在一个元素 \( b \in G \)，使得 \( a \cdot b = b \cdot a = e \)，其中 \( e \) 是单位元。
    \end{enumerate}
    \textbf{Abelian group}\quad 注意：群不必满足交换律，即
    \begin{equation}
        a \cdot b \neq b \cdot a
    \end{equation}
    是允许的
\end{definition}

\begin{example}
    \begin{enumerate}
        \item 整数集\( \mathbb{Z} \) 在加法下构成一个群。
        \item 非零实数集\( \mathbb{R}^* \) 在乘法下构成一个群。
        \item 对称群\( S_n \)，表示所有 \( n \) 个元素的排列，在乘法下构成一个群。
        \item 置换群 $P_n$, 他的每一个操作都将$1,2,\cdots,n$变换到$1,2,\cdots,n$上, 但顺序改变. 通常表示为:
              \begin{equation*}
                  P_n=\begin{pmatrix}
                      1   & 2   & \cdots & n   \\
                      m_1 & m_2 & \cdots & m_n
                  \end{pmatrix}
              \end{equation*}
    \end{enumerate}
\end{example}

\begin{definition}[][群的阶]
    \textbf{order of group}\quad 群内元素个数称为群的阶。当群的阶有限时，称为有限群；当群的阶无
    限时，称为无限群.
\end{definition}

\begin{definition}[][阿贝尔群]
    如果群的运算是可交换的，即对于所有 \( a, b \in G \)，
    都有 \( a \cdot b = b \cdot a \)，那么这个群称为\textbf{阿贝尔群（Abelian Group）}。
\end{definition}
\begin{note}
    Abel群的乘法表是对角对称的.
\end{note}

\begin{theorem}[][重排定理]
    \textbf{rearrangement theorem}\quad

    设 \(g\) 为群 \(G\) 中任意确定元素。

    \begin{equation}
        g G = G g = G.
    \end{equation}
\end{theorem}

\begin{definition}[][群表]
    \textbf{group table}\quad 对于有限群,为了更清楚地显示群的乘法结构,
    常常构造\textbf{群表},即群的\textit{乘法表}.
    构造规则是,表的第一列排放乘法的第一因子,表的第一行排放乘法的第二因子.
    列与行的元素应遍及全部群元素,
\end{definition}

\begin{example}
    群$G={1,-1,i,-i}$对普通乘法构成一个群，其群表如下
\end{example}

\begin{table}[htbp]
    \centering
    \caption{群表\label{tbl:GroupTable}}
    \begin{tabular}{ccccc}
        \toprule
           & 1  & -1 & i  & -i \\\midrule
        1  & 1  & -1 & i  & -i \\
        -1 & -1 & 1  & -i & i  \\
        i  & i  & -i & -1 & 1  \\
        -i & -1 & i  & 1  & -1 \\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

\begin{definition}[][子群]
    \textbf{subgroup}\quad 设$H$是群$G$的一个子集，若对群$G$的乘法运算，$H$也构成一个群，则称$H$为$G$的子群
\end{definition}

\begin{note}
    加法群中, 全体整数是全体实数的子群.
\end{note}

\begin{definition}[][阶]
    \textbf{order of group}\quad 对任意一个有限群 \(G\), 从中取一个元素 \(a\), 从 \(a\) 出发做幂操作,
    这是可以构成 \(G\) 的一个循环子群 \(Z_k \equiv \{ a, a^2, \cdots, a^{k-1}, a^k = e \},\)
    这时称 \(k\) (满足这个性质的的最小$k$)为群元$a$的阶.
\end{definition}

\begin{note}
    群是封闭的,那么$a$的任意次幂$a^p$一定在群中. 若不存在一个$a^k=e$,那么这个群将是无限的.
    若存在, 则$a^{nk+i}=a^i$, 形成循环群.
\end{note}
\begin{definition}[][有限群的生成元]
    \textbf{generators of finite groups}\quad
    从满足一些关系的元素的某一集合出发,可以生成群的所有元素.
    考虑一些元素的最小集合,这些元素的幂和乘积可以生成群的所有元素,
    则称此集合的元素为群的生成元.
\end{definition}

\begin{definition}[][陪集]
    \textbf{Accompany}\quad
    设 \( G \) 是一个有限群，\( H \) 是 \( G \) 的一个子群。$g\in G$,则
    集合$gH$为左陪集，$Hg$为右陪集。
\end{definition}
\begin{note}
    \begin{itemize}
        \item 当$H$为有限子群时, 陪集元个数等于$H$的阶. 子群和陪集元素之间存在一一对应的关系.
        \item 陪集可以对于子群本身.若$g\notin H$,则陪集不是子群本身.
    \end{itemize}
\end{note}
\begin{theorem}[][陪集定理]
    \textbf{coset theorem}\quad 同一子群的两个左(或右)陪集,
    或者元素完全相同,或者完全不同(交集为空集)。
\end{theorem}


\begin{theorem}[][拉格朗日定理]
    \textbf{Lagrange's theorem}\quad
    群$G$必为子群$H$及其全部不相同的陪集的直和,即群$G$的阶$n$必为子群$H$的阶$k$的整数倍.
    或者说,子群的阶必定为群的阶的因子(约数).
\end{theorem}
\begin{cor}
    素数阶的群只有平庸子群(群自身与单位元).
\end{cor}

\section{群元的分类}
\begin{definition}[][共轭元素]
    \textbf{conjugate element}\quad
    若$A,B,C\in G$, 且有
    \begin{equation*}
        \invT{A}{B}=C
    \end{equation*}
    则$B,C$为\textbf{共轭元素}
    共轭元素满足：
    \begin{enumerate}
        \item 自反性：$A\sim A$
        \item 对称性： 若$A\sim B$, 则$B\sim A$
        \item 传递性：若$A\sim B, B\sim C$则$A\sim C$
    \end{enumerate}
    将所有共轭元素放在一起成为一个类，可以将群分类。
\end{definition}
\begin{note}
    \begin{itemize}
        \item 一个群中的单位元素$e$自成一类:$\intT{A}B=B$
        \item Abel群的所有元素都自成一类:$ABA^{-1}=AA^{-1}B=B$
        \item 若群元的阶为$m$,则所以同类元素的阶也是$m$.
    \end{itemize}
\end{note}
\begin{corollary}
    有限群的每个类的元素格式都是群的阶的因子.
\end{corollary}

\begin{definition}[][共轭子群]
    \textbf{conjugate subgroup}\quad $H$,$K$为$G$的子群.
    若存在$g\inG$,使$K=gHg^{-1}$,则称$H$,$K$为共轭子群.
\end{definition}

\begin{definition}[][正规子群]
    \textbf{normal subgroup}\quad 如果$H$中的所有同类元素都属于$H$, 
    则称为正规子群或不变子群.
    就是说, \(\forall h_j \in H, \forall X \in G \), 有
    \begin{equation*}
        h_i = X^{-1} h_j X \in H.
    \end{equation*}
    正规子群是一类特殊的重要子群, 其最重要的性质就是它生成的所有左陪集与右陪集相同,
    即 \(\forall \ g \in G\), 有
    \begin{equation*}
        g H = H g.
    \end{equation*}
    显然,群$G$本身与单位元是两个平庸正规子群;阿贝尔群的任何子群都是正规子群.
\end{definition}

\begin{definition}[][商群]
    \textbf{business group}\quad 定义陪集乘法,两陪集的所有元素按顺序两两相乘,
    相同的元素合并为一个,所得到的新的集合称为陪集的乘积.

    若$H$为群$G$的正规子群,则$H$与其全部不相同的陪集,在上述陪集乘法定义下,构成一个群,称为商群,记如$G/H$.

    商群的阶为$g/h$.
\end{definition}

\begin{note}
    在更高的抽象水平上把每一陪集$K_i$看作'元素',则其集合$K$是在陪集乘法下的一个群。
\end{note}

\section{群的直积}

\begin{definition}[][群的直积]
    \textbf{direct product of groups}\quad 设有群
    \begin{align*}
        H & = (E_h, H_2, H_3, \cdots, H_p), \\
        K & = (E_k, K_2, \cdots, K_q),
    \end{align*}

    在其中各取一个元素，构成有序对
    \begin{equation*}
        G = \{(H_i,K_j), \forall \ H_i \in H, \forall \ K_j \in K\}.
    \end{equation*}

    并在集合 \(G\) 中定义乘法运算为
    \begin{equation*}
        \forall \ G_{ij} = (H_i,  K_j )\in G, G_{ab} = (H_a, K_b),
    \end{equation*}

    有
    \begin{equation*}
        G_{ij} G_{ab} = (H_i, K,_j) (H_a, K_b) = (H_i H_a, K_jK_b).
    \end{equation*}

    \(G\) 构成群，称为 \(H\) 与 \(K\) 的直积群，记为 \(G = H \bigotimes K.\) .
    \(G\) 的单位元 \(E_G= (E_h, E_K)\) $G_{ij}$ 的逆元为 $(H_i^{-1}, K_j^{-1})$
\end{definition}

\section{同构与同态}

\begin{definition}[][同构]
    \textbf{isomorphism}\quad
    设有两个同阶群 \(G\) 与 \(\prG\),
    \begin{align*}
        G    & = (g_1 = E, g_2, \cdots, g_i, \cdots),           \\
        \prG & = (\prg_1=\prE ,\prg_2, \cdots, \prg_i, \cdots),
    \end{align*}
    两者之间存在 \(1-1\) 映射 (对应关系)，并且在映射下保持乘法运算不变，
    即 \(\forall g_i, g_j \in G, \forall \prg_i, \prg_j, \in \prG, \)
    存在映射 \( f \longleftrightarrow \prf : g_i \longleftrightarrow \prg_i, \)，
    则两个群同构，记作
    \begin{equation*}
        G \cong \prG.
    \end{equation*}
\end{definition}

\begin{note}
    如果两群之间存在同构映射,则两群具有结构相同的群表(乘法表).
    从纯数学角度看,若干同构的群,无论其群元表示何种数学意义和物理背景,
    其代数结构是完全相同的.因此,探讨与它们同构的抽象群所得到的结果,
    只要分别赋予各具体群以特定解释,即可得到所需要的数学和物理结果.
\end{note}

\begin{definition}[][同态]
    \textbf{homomorphism}\quad
    若两个群\(G\) 与 \(\prG\),之间存在多对一的映射关系，且保持乘法的映射关系，则俩个群同态，记作
    \begin{equation*}
        G \sim \prG.
    \end{equation*}
\end{definition}

\begin{theorem}[][同态基本定理]
    \textbf{Fundamental Theorem of Homomorphism}\quad
    \(G\) 群中被同态映射到群 \(\prG\) 的单位元 \(\prE\)：的集合 $N$称为同态映射的核。
    具有以下性质：
    \begin{enumerate}
        \item $N$为$G$的正规子群。
        \item $G\cong \prG/N$
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\section{群代数}
\begin{definition}[][群函数]
    \textbf{group function}\quad 若对于群中的每一个元素，存在一个映射，将其映射到一个复数上，
    即
    \begin{equation*}
        \forall \ g \in G, \exists \ f, g\Map{f} f(g) \in \mathbb{C}
    \end{equation*}
    则$\{f(g)\}$的集合为群函数$f(G)$。
\end{definition}
\begin{definition}[][群的加法]
    \textbf{Addition of groups}\quad 群元素的加法满足
    \begin{itemize}
        \item 交换律：$c_1R+c_2S = c_2S+c_1R$
        \item 数乘的分配律:$(c_1+c_2)R=c_1R+c_2R$
        \item 加法的分配律：$c_1(c_2R+c_3S)=c_1Rc_2+c_1c_3S$
    \end{itemize}
\end{definition}
\begin{definition}[][群空间]
    \textbf{group space}\quad
    取有限群群元素$R$作为基,它们的所有复线性组合构成一个线性空间,称为群空间.

    群空间的维数就是群的阶数$k$.

    群元素的任何线性组合都是群空间的一个矢量
\end{definition}

\begin{definition}[][矢量乘法]
    \textbf{vector multiplication}\quad 对群空间的两个矢量
    定义矢量乘法：数之间按数的普通乘法，群元素之间按群的乘法，数和群元素之间按数乘规则进行运算。
\end{definition}
\begin{definition}[][群代数]
    \textbf{Group algebra}\quad
    定义了矢量乘法的群空间称为一个群代数。
\end{definition}